В словарях современного русского литературного языка такого глагола нет.

Его можно найти в текстах XIX — начала XX века. Теперь это слово считается устаревшим. Авторы художественных произведений могут использовать глагол развеселять для стилизации, но в обычной речи его лучше не употреблять.

Из контекста это неясно. Существует распространенное суждение, что предлог по означает 'включительно', а предлог до такого значения не имеет, однако это суждение не подтверждается данными толковых словарей русского языка. См. в «Непростых словах»: до и по.

Возможны варианты в зависимости от смысла. Оборот как администратора доходов обособляется, если имеет добавочное значение причины (поскольку Департамент информационной политики является администратором доходов, у него заключен договор...). Если такого значения нет (т. е. как имеет значение «в качестве»), запятые не нужны.

Правильно: ко дню в значении приуроченности к какому-либо событию. Если имеется в виду, что что-то приурочено к празднику, верно: ко Дню защитника Отечества.

Если такого значения нет, а обозначается календарная дата, то верно: к дню; успеть к Дню защитника Отечества.

Такого правила нет.

При адресовании должностному или физическому лицу инициалы указывают перед фамилией: И. И. Иванову, А. А. Петрову. При составлении библиографии или алфавитных списков лиц инициалы пишутся после фамилии, поскольку поиск рубрики указателя ведется по буквам фамилии: Иванов И. И.

Действительно, оборот с как здесь может обособляться или не обособляться. Он выделяется запятыми, если имеет дополнительное значение причины («поскольку был главным режиссером»). Если такого значения нет, то запятые не ставятся.

Если контекст допускает оба варианта, то окончательное решение принимает автор текста.

Мужские фамилии такого типа могут склоняться двояким образом: с выпадением гласной (Лавринца) и без выпадения гласной (Лавринеца). Оба варианта соотвествуют грамматической норме, но лингвисты отдают предпочтение второму варианту (склонение без выпадения гласного), поскольку фамилии выполняют, помимо всего прочего, юридическую функцию.

Из фразы можно понять, что оба события ("обстрелы" и "жертвы") случились в августе. Если такое понимание верное, то не надо ставить запятую. Если же нужно избежать такого понимания фразы, то следует перестроить фразу, а не решать вопрос исключительно "пунктуационными" методами.

А. Н. Тихонов в «Морфемно-орфографическом словаре» выделяет корень пристраст-, а в «Словообразовательном словаре» выстраивает и такую словообразовательную цепочку, которая позволяет выделять корень -страст-: страсть — пристрастить — пристрастие. В значении слова пристрастие можно усмотреть общий компонент значения со словом страсть — 'сильное чувство'. 

Статус начальной части противо... неоднозначен. Ее характеризуют как приставку или как первую часть сложных слов, см. ресурс «Проверка слова». А. Н. Тихонов в своем «Словообразовательном словаре русского языка» включил слово противогаз только в гнездо слова газ, определяя способ образования как приставочный.