Корректно: горжусь своими детьми.
Лучше: не держишь обиды.
См. также: http://gramota.ru/spravka/letters/?rub=otr
При глаголах с отрицанием возможны оба варианта.
Да, склонение правильно.
См. ответ на вопрос № 251090.
Предпочтителен первый вариант.
См. "Горячую десятку вопросов".
Фамилии на -ых (-их) типа Золотых, Седых, Долгих являются единственным исключением из правила, гласящего, что склоняются все мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный звук. Эти фамилии несклоняемы, потому что они в каком-то смысле уникальны: они происходят от формы родительного (и предложного) падежа множественного числа имен прилагательных (соответственно: золотой, седой, долгий и т. п.).
Очевидно, что фамилия Дитрих (иноязычная по происхождению) к описанному выше типу не относится, поэтому ее склонение подчиняется общим правилам склонения фамилий на согласный: мужская фамилия склоняется, женская – нет: об Иоганне Дитрихе, но: о Марлен Дитрих.
