Вы совершенно правы: в первой строфе стихотворения содержится не сложносочиненное предложение, а простое, осложненное однородными сказуемыми и обособленным деепричастием. Запятая перед союзом и не требуется. 

Это не совсем так, можно выдать диплом и тому, кто занял второе или третье место.

У слова диплом есть такое значение:

Свидетельство, выдаваемое как награда за успешное выступление на конкурсе, в каком-л. соревновании и т.п. или как подтверждение общественного признания, заслуг кого-л. в чём-л. Д. лауреата. Д. чемпиона мира. Д. первой степени. Д. фестиваля народной музыки. < Дипломный, -ая, -ое. (1-2 зн.). Д-ая работа. Д. проект.

А вот одно из толкований слова грамота (заметим, что это значение представлено не всеми словарями):

selectiontrue">Документ, выдаваемый в награду за успехи в каком-либо деле (Похвальная грамота, Почетная грамота).

К сожалению, смысл предложения не вполне понятен. Почему в однородном ряду оказались слова страна и область? О какой области идет речь? К чему относится в частности? Предположим, что к обороту к инфекции COVID-19, тогда запятую нужно перенести: ...проводится изучение популяционного иммунитета страны, в частности к инфекции COVID-19. Если речь и дет о проекте, который стартовал недавно, то логичнее в придаточной части поставить глагол в форму будущего времени (Был дан старт проекту, в рамках которого проведут изучение...) или отметить, что исследование началось (Был дан старт проекту, в рамках которого начато изучение...).

Да, в первом из приведенных примеров после слова двери может стоять точка: «Кто там?» – раздалось из-за двери. «Это я, Николай!» — «А-а, ну заходи». И дверь приоткрылась. (Обратим внимание, что после частицы ну не требуется запятая.) Во втором примере после слова сказать может стоять точка: здесь авторские слова, стоящие после прямой речи, представляют собой отдельное предложение (см. примечание 2 к параграфу 48 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя): — Мне больше нечего тебе сказать. — Он повернулся к отцу спиной и пошёл к двери.

Правильно: преклонить колени (стать на колени). Преклонить и приклонить – разные слова:

Большой толковый словарь

Глагол СВ в данном примере имеет конкретно-фактическое значение. Соответственно, подразумевается отрицание конкретного единичного факта (Разве я это сказал?).

Глагол НСВ в этом же примере имеет общефактическое значение. Соответственно, отрицается вообще то, что когда бы то ни было имел место подобный факт (Разве я это говорил?). Это отнюдь не риторический вопрос, но он может использоваться как средство усиления: говорящему требуется опровергнуть конкретный единичный факт, но он использует средство, отрицающее подобный факт вне привязки к какой-либо конкретной ситуации. Такое усиление происходит часто, поэтому вариант (2) и встречается значительно чаще, чем (1).

Слова заказник и цветник относятся к разным акцентным типам производных слов. Слово заказник образовано при помощи суффикса -ик от устар. зака́зный 'запрещенный' и сохраняет место ударения производящего слова (то же: запове́дный — запове́дник). Слово цветник образовано от цветы при помощи суффикса -ник и относится к следующему акцентному типу: постоянное ударение на ненулевом окончании при условии ударения на окончании или отсекаемой части основы в производящем слове (то же: руда́ — рудни́к). Слово питомник в историческом аспекте относится к тому же акцентному типу, что и слово заказник.

Правило об отсутствии запятой между сочинительным и подчинительным союзом при наличии в главном предложении второй части подчинительного союза – лишь частный случай более общего правила: запятая между союзами не ставится, если придаточное предложение невозможно изъять или переставить в другое место. Если в главном предложении есть вторая часть подчинительного союза, то изъятие или перестановка придаточного невозможна. 

Попробуем переместить придаточную часть в Вашем предложении: И разговаривали с ним, а он отвечал, если хотел, или молчал, а он говорил с ними, как с равными себе, [когда пришли старейшие племени]. Такая перестановка невозможна, поэтому запятая между союзами а и когда не нужна.

Справочное пособие Д. Э. Розенталя, безусловно, никто не отменял, но, пользуясь им, надо помнить, что книга эта была составлена еще в середине прошлого века, поэтому некоторые рекомендации ее устарели. Конечно, справочник много раз перерабатывался и редактировался, но всё же некоторые рекомендуемые им написания не соответствуют современным нормам письма. Это касается и аббревиатурных названий производственных марок: сейчас нормативно их написание без кавычек. И, кстати, в 7-м, переработанном и дополненном, издании справочника Д. Э. Розенталя «Прописная или строчная?» (М., 2005) зафиксировано именно такое написание, без кавычек: ЗИЛ-130, Ту-144, Ил-18  и т. п. – то есть в данном случае приведены рекомендации, не противоречащие другим справочникам по правописанию.

Правила Вы можете посмотреть в Полном академическом справочнике под ред. В. В. Лопатина.

В приведенных Вами предложениях знаки нужно расставить следующим образом. 

1. И хотя было уже поздно, я решил остаться. И когда взошло солнце, никто уже не спал. В начале предложения между союзом и и подчинительным союзом запятая не ставится. 

2. Они побежали и, если бы не свет от фонаря, точно растянулись бы на земле. Перед и запятая не нужна, так как союз соединяет однородные сказуемые; после и запятая нужна, так как придаточную часть можно переставить в другую часть предложения, что связано с отсутствием второй части союза если... то.