Оба варианта корректны.

Да, это однокоренные слова с чередованием в корне. 

В корне сед(сес)/сид(сиж) без ударения пишется е перед твердым д, пишется и перед мягким д, напр.: седок, сидеть.

И с к л ю ч е н и я: е перед мягким: седельник, седельце, чересседельник, седельный; и перед твердым: сидушка, высидка, высидной, высидочный.

П р и м е ч а н и е 1. Под ударением может быть и и, и е: сидя, сесть, присед.

П р и м е ч а н и е 2. У корня сед- есть омоним: сед-ой.

П р и м е ч а н и е 3. Полный корень сед(сес)/сид(сиж)/сяд(сад), вариант сяд- выступает только под ударением: сяду, присядка.

П р и м е р ы. Слова с корнем сид[д’]-: сидеть (и с приставками: высидеть, досидеть(ся), засидеть(ся), насидеть(ся), обсидеть, отсидеть(ся), пересидеть, посидеть, подсидеть, просидеть, рассидеться) и производные (сиделец, сиделка, сиденье, сидмя, сидячий, посиделки и т. п.). Слова с корнем сед-: восседать (и с другими приставками: заседать, наседать, оседать, приседать, проседать), седлать (и с  приставками: переседлать, расседлать), дозаседаться, седалище, седалищный, седок, седло, заседатель, председатель.

Интерпретация этого предложения как простого исключена, потому что сказуемые писал, уехал, остался, переехал неоднородны: например, в ряд не вписывается первое из них. Это сложное предложение с бессоюзной и союзной сочинительной связью, состоящее из двух блоков: первый блок — первая часть, второй блок, раскрывающий содержание выражения разная информация в первой части, — все остальное. Во втором блоке три части, связанных разделительным союзом, все три части неполные (с опущенным подлежащим).

Можно ли второй блок считать одной частью с однородными сказуемыми? Можно, но такая интерпретация хуже по той причине, что каждое повторение союза вводит принципиальную иную ситуацию. Обычные же однородные сказуемые описывают одну и ту же ситуацию: Вася сидит в кресле и читает.
 

Это выражение не противоречит нормам русского языка.