Верен только второй вариант.
Корректно: коллекция бренда.
Допустимы оба варинта, предпочтителен первый.
Верно: Соединенное Королевство Великобритании и Северной Ирландии.
Более употребительно: не задает вопросов. Но: не задает эти вопросы.
Неопределенная форма глагола, отвечает на вопрос что делать?. См. также в Правилах (§ 73).
Корректно: она для тебя важна.
Вопрос о правильности или неправильности написания в данном случае не вполне корректен. Многие собственные наименования в русском языке испытывают колебания в написании (возьмите, к примеру, наименования автомобилей). Написание определяется и сложившимися традициями (реальной практикой письма) в отношении конкретного слова, и системными аналогиями.
Не будучи ошибочным (т. е. не нарушая "букву закона"), приведенное Вами написание - именно как написание названия системы взглядов - противоречит орфографической системе русского языка. Неоднословные собственные наименования подобного типа принято заключать в кавычки, при этом с большой буквы пишется только первое слово. Более того, мы не усматриваем никаких практических оснований для использования большой буквы во втором слове этого наименования.
