Оба варианта фамилии имеют право на существование. Выбрать нужно исходя из следующего: если соответствующая мужская фамилия в им. п. звучит как Панарин, то правильно: Анастасии Панариной; если же (что менее вероятно) мужская фамилия звучит как Панарина (Иван Панарина, ср.: Петр Смородина, Николай Кочерга и т. п.), то правильно: Анастасии Панарины.
Грамматически корректно: Справедливость этой мысли можно подтвердить на примере личности Петра I.
Существует буквальный перевод: связи с общественностью.
Нет оснований писать с большой буквы, это не имя собственное. Верно: Люблю петь в евангелической церкви.
В словарях и в Национальном корпусе русского языка это наречие отсутствует, но оно вполне может быть образовано как выразительное средство в разговорной или художественной речи по аналогии с наречиями вкрутую, вдолгую, в открытую и т. п.
Правильно: на глубине один метр.
Ваш вариант пунктуационного оформления корректен.
