Правильно : «Просим забронировать двухместный номер на имя директора Ивановой Анны Ивановны».
Процитируем ГОСТ Р 6.30–2003, который действует до 30 июня 2018 года:
3.26. При заверении соответствия копии документа подлиннику ниже реквизита «Подпись» проставляют заверительную надпись: «Верно»; должность лица, заверившего копию; личную подпись; расшифровку подписи (инициалы, фамилию); дату заверения, например:
Верно
Инспектор службы кадров Личная подпись Т.С. Левченко
Дата
Допускается копию документа заверять печатью, определяемой по усмотрению организации.
ГОСТ Р 7.0.97–2016, который вступит в силу 1 июля 2018 года, предписывает следующее:
5.26 Отметка о заверении копии оформляется для подтверждения соответствия копии документа (выписки из документа) подлиннику документа. Отметка о заверении копии проставляется под реквизитом «подпись» и включает: слово «Верно»; наименование должности лица, заверившего копию; его собственноручную подпись; расшифровку подписи (инициалы, фамилию); дату заверения копии (выписки из документа).
Пример –
Верно
Инспектор службы кадров Подпись . И.О. Фамилия
Дата
Если копия выдается для представления в другую организацию, отметка о заверении копии дополняется надписью о месте хранения документа, с которого была изготовлена копия («Подлинник документа находится в (наименование организации) в деле N ... за ... год») и заверяется печатью организации.
Для проставления отметки о заверении копии может использоваться штамп.
Правильно - обратиться со словом "уважаемый" по имени и отчеству. Если имя и отчество неизвестны, то можно так: уважаемый господин директор, уважаемая госпожа директор.
В обоих случаях верно со строчной (маленькой) буквы. Вы написали правильно.
См. в «Письмовнике».
Верен второй вариант.
