Слова двойной и двоякий имеют различающиеся значения, хотя иногда могут быть взаимозаменяемы. Из словарных толкований следует, что двойной характеризует нечто как состоящее из двух частей или увеличенное в два раза. Наглядны и понятны, например, двойной кофе или двойная порция. Двоякий — это такой и эдакий, условно говоря, или, как отмечают словари, имеющий два проявления, два воплощения, два вида. Прилагательное часто используется при указании на неоднозначность: двоякое впечатление, двоякое толкование. Кавычки, как представляется, не обязательны, впрочем, если важно подчеркнуть точность цитируемого, то поставьте их в нужном месте.
Написание зависит от контекста.
Слово "город" требуется только в канцелярской речи (в город Анапу).
Оба варианта соответствуют норме.
Правильно: в селе Молчаново. Без родового слова: в Молчанове (предпочтительно) и в Молчаново (допустимо).
Верно: в Республике Ингушетия.
Корректно написание со строчной буквы.
Правильно: в дальнем зарубежье.
