Правильно: за рубеж.
Все приведенные варианты возможны.
Корректно: средство для ухода, средство по уходу...
Корректно: назначить ответственным за электрохозяйство.
Стремление к лексической лаконичности объяснимо, но может приводить к смысловой неясности, особенно в случае, когда речь идет о плате за тариф, а не о тарифе оплаты. Кешбэк выплачивают, начисляют, и, как представляется, именно глаголы готовы присоединить предложно-падежные сочетания, уточняющие условия получения кешбэка. Впрочем, оплата может быть разной, типичной и обычной, и выражения типа кешбэк за оплату картой не вызывают сомнений в их корректности. При этом понятно, что истоки такого оборота все равно глагольные: дать (что?) кешбэк (дать за что? при каком условии?) за оплату картой.
Оба варианта корректны.
Предпочтительна форма единственного числа сказуемого: так проходит год за годом.
