Заимствованные существительные, состоящие из двух или более элементов, отдельно в русском языке не употребляющихся, пишутся по-разному: в каких-то случаях закрепляется слитное написание (бефстроганов, бомонд, верлибр), в каких-то дефисное (беф-брезе, папье-маше). Написание проверяется по орфографическому словарю. Поскольку словарной фиксации слова мэн-гош пока нет, Вы вправе выбрать дефисное написание и последовательно придерживаться его.

Оба варианта фамилии имеют право на существование. Выбрать нужно исходя из следующего: если соответствующая мужская фамилия в им. п. звучит как Панарин, то правильно: Анастасии Панариной; если же (что менее вероятно) мужская фамилия звучит как Панарина (Иван Панарина, ср.: Петр Смородина, Николай Кочерга и т. п.), то правильно: Анастасии Панарины.

Имя существительное, которому предшествует два или несколько определений, указывающих на разновидности предметов, ставится в форме единственного числа, если существительное не употребляется в форме множественного числа, а также если перечисляемые разновидности предметов или явлений внутренне связаны, например, в сочетаниях терминологического характера.

Таким образом, в обоих приведенных случаях следует выбрать форму единственного числа.

В таких случаях действительно следует использовать многоточие: Не хочу... ...умирать; Он думал... ...что остался один.

Согласно правилам пунктуации многоточие ставится: а) в конце фразы для обозначения незаконченности высказывания, вызванной различными причинами (волнением говорящего, внешними помехами и т. д.); б) в начале фразы для указания на то, что продолжается прерванное повествование. 

Если это предложение в тексте, то уместен вариант с тире, сочетание от идеи к внедрению будет играть роль сказуемого при подлежащем путь (рационализатора). Если же это заголовок текста, то корректен вариант с двоеточием: первая часть таких заголовочных конструкций называет общую проблему, а вторая — содержит конкретизацию названного в первой части.

Если перед подчинительным союзом или союзным словом есть частица не, то запятая между главной и придаточной частью не ставится (см. пункт б) параграфа 115 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина): Я хотел узнать не что он сделал, а что он начудил.

См. ответ № 214056.

И в винительном падеже, и в предложном пишется е: уехать в Заполярье, живу в Заполярье. Правило простое: слова среднего рода на -ье имеют в предложном падеже окончание -е: в ущелье, о варенье. В отличие от них слова среднего рода на -ие имеют в предложном падеже окончание -и: в сопровождении, в молчании, в подразделении.

Возможен такой вариант: Вопрос – ходить или не ходить – не стоит. Д. Э. Розенталь формулировал правило так: если несогласованное определение, выраженное инфинитивом, находится в середине предложения, то оно обособляется при помощи тире. Ср. с примером Д. Э. Розенталя: …Каждый из них решал этот вопрос — уехать или остаться — для себя, для своих близких (Кетл.).