Депутаты должны действовать согласно мандату. 

В практике письма устоялось написание таких названий, как Эмпайр-стейт-билдинг, Крайслер-билдинг и под., без кавычек.

Однако условные названия выделяются кавычками по общему правилу: комплекс «Федерация», башня «Империя», небоскреб «Высоцкий».

«Правильного» и «неправильного» употребления предлога в таких сочетаниях сейчас нет: предлоги конкурируют, норма формируется на наших глазах, кодификация в словарях отсутствует. Вариант с предлогом на поддерживается конструкциями на сайте, на (интернет-)площадке, выбор предлога в может подкрепляться конструкцией в (интернет-)магазине.

Можно рекомендовать для нейтрального употребления вариант в интернет-магазине Ozon. При передаче на письме обиходного разговорного употребления: на Озоне.

Правильно: Команда вступала в юбилейный, пятнадцатый сезон.

Удалить в значении 'устранить что-л. оперативным путём; вырезать' – слово, характерное для медицинской речи. С ним такое неточное, разговорное употребление вряд ли возможно, поэтому корректно: удалить опухоль. 

Слово рак вместо опухоль может использоваться в разговорной речи, но с другими глаголами, в первую очередь –  вырезать.  Ср.: Месяца два назад у его сестры вырезали рак, и теперь все ждали возврата болезни (А. Чехов, Три года).

Пока слово не включено в академический орфографический словарь, мы можем дать предварительную рекомендацию писать его слитно и без удвоенных согласных: панакота. 

Возможно написание с тире или без знаков. Вариант с тире соответствует большей интонационной расчлененности предложения.

Название должно склоняться и записываться в кавычках: благодаря «Арбидолу». 

Описанный Вами критерий применяется в ряде правил, например в правиле про вводные слова, стоящие после союза. Но, судя по описанию, не в том случае, который имеете в виду Вы. 

Фразы корректны, если в контексте понятно, что означает выражение проходила практику с китайцами. Вне контекста его можно воспринять по-разному, это недостаток речи. Смысловую неполноту нужно устранять.