Связь слов переборщить и борщ не исключена: в словаре В. И. Даля дается слово борщить, которое в южных диалектах означает 'лить через край, слишком много'. Впрочем, П. Я. Черных в «Историко-этимологическом словаре русского языка» указывает: «Что касается глаг. переборщить – перебарщивать, то это позднее неуклюжее новообразование, известное лишь с начала XX в., происходит, по-видимому, не от борщ, а... от переборка, ср. далее перебрать».
Предпочтительна форма множественного числа сказуемого.
Самый быстрый способ узнать - посмотреть в электронных словарях.
Фраза корректна.
Затмеваю - форма глагола затмевать. Форма 1-го лица глагола затмить - затмлю.
Да, допустимо.
Возможно написание и замдиректора (сложносокращенное слово), и зам. директора (графическое сокращение слова заместитель). О различии зам. директора – замдиректора см. в ответе на вопрос № 237554.
Оба варианта возможны. Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».
Такое употребление некорректно. Правильно: положу каши.
Стелить - это глагол первого спряжения.
