Увы, подобрать более удачный перевод для слова challenge довольно трудно. А приведенный Вами заголовок, действительно, плох своею двусмысленностью. Здесь слово вызов можно было бы заменить синонимом испытание.

Вы совершенно правы: управление заменить кого/что на кого/что (вместо заменить кого/что кем/чем) оценивается как норма лишь разговорной речи. Статью непременно исправим! 

В случае если подчеркивается отрицание, не правда следует писать раздельно как в вопросительных, так и в повествовательных предложениях.

Что касается второго примера, то в нем выражается утверждение признака, поэтому неправда пишется слитно. В данном случае нельзя руководствоваться только формальным строением предложения (наличием слова разве). Как сказано в академическом справочнике под ред. В. В. Лопатина, пишущий должен отдавать себе отчет в том, что он хочет выразить: отрицание признака или утверждение признака. От выбора написания будет зависеть и понимание написанного читающими.

Аналогия неполная. В примерах из справочника деепричастие легко заменяется неглагольными аналогами: без волнения, без прицеливания. В рассматриваемом примере такая замена (без вымазывания) затруднена и неадекватна.

Значения и особенности употребления слов описываются в толковых словарях русского языка. Толковые словари различаются по объему описаний (для сравнения рекомендуем обратиться к словарям, размещенным на нашем портале), поэтому в случае с многозначными словами из активного лексического фонда русского языка предпочтительно и даже необходимо узнавать сведения из нескольких изданий. Слово случай относится к разряду многозначных, частотных слов, используемых в самых разных речевых сферах, что находит отражение в больших словарных описаниях. Следовательно, при оценке (корректности, точности, уместности) использования слова случай нужно учитывать ряд условий, в частности, содержательные признаки высказывания, стилистические особенности текста и авторский замысел. Насколько это важно, убеждает пример в случае Васи: выражение свойственно разговорной речи и, в зависимости от замысла и контекста, может подразумевать произошедшее событие либо потенциальное событие будущего.

Во всех контекстах возможно написание с прописной и строчной. При этом со строчной пишут всё чаще (особенно молодые носители языка), написание с прописной уходит.

С синтаксической точки зрения во всех случаях перед нами конструкция с придаточным что захочешь / что хочешь. Утверждение об идиоматичности выражения всё(,) что хочешь может быть подвергнуто сомнению. Стоит, правда, обратить внимание на то, что в вопросах, заданных Справочной службе, фигурируют разные глаголы: хотеть и захотеть. Первый из них, несовершенного вида, обладает гораздо большей употребительностью, чем второй. Поэтому всё(,) что хочешь было бы легче признать идиомой, чем всё(,) что захочешь, — если бы не одно препятствие. Дело в том, что в этих выражениях идиоматичности ровно ноль: их смысл полностью соответствует смыслу компонентов, из которых они состоят. И в этом их существенное отличие от всё что угодно / что душе угодно / что душа пожелает: используя эти выражения, говорящий не думает ни о какой душе и даже ни о какой-либо угодности кого-л. / чего-л. кому бы то ни было. Поэтому выражения этой серии можно признать идиомами, а выражения с глаголами хотеть / захотеть — нет. Вывод: запятая в примерах, фигурирующих в вопросах, нужна.

Внятный критерий, который следует учитывать, решая вопрос о постановке/непостановке запятой в выражениях такого типа, — наличие идиоматичности. Только она может отменить запятую в сложноподчиненной конструкции. А наличие идиоматичности выявляется путем проверки на композициональность семантики. Если смысл выражения равен сумме смыслов его компонентов, то его семантика композициональна, идиоматичности нет. Если же семантика некомпозициональна, то можно говорить об идиоматичности.

В целом ситуация неразрешимая (т. е. нет варианта, устраивающего все стороны). Можно, например, сделать оговорку в тексте, объяснив разницу в склонении фамилий, и далее склонять фамилии по-разному.