Четкого правила нет. В «Справочнике по правописанию и литературной правке» Д. Э. Розенталя указано: «Если определение (обычно обособленное) стоит после счётного оборота, то чаще оно ставится в форме именительного падежа множественного числа, например: Направо от двери были два окна, завешанные платками». В то же время в стилистическом словаре вариантов Л. Граудиной, В. Ицковича, Л. Катлинской «Грамматическая правильность русской речи» рекомендовано употреблять форму родительного падежа: Два российских писателя, принимавших участие в конкурсе, удостоились этой премии. Таким образом, фактически допустимы обе формы, т. е. рекомендации не носят категорического характера.
Нормативно: в Гагре. В ряде источников также в Гаграх.
Мы бы выбрали согласование по женскому роду.
К сожалению, назвать "лучший" трудно. Есть разные критерии: объем словника, актуальность и полнота рекомендаций, авторитетность издания и др.
Справочники и словари обтекаемо называют такие единицы "первыми частями сложных слов". В школе можно считать их и приставками.
Ударение падает на последний слог: не избалУй.
Верно: ходить к учителю (в значении "посещать учителя").
Оба сочетания правильны.
Правильно: по пятьсот километров.
Неофициальные названия территорий пишутся с прописной буквы. Верно: Тамбовский край.
