Все варианты правильные. В современном литературном языке в количественном (партитивном) значении род. п. в письменной речи преобладает форма на -а (чашка чая). Но в разговорной речи часто употребляется флексия -у, особенно в глагольных конструкциях со значением неполного объекта (хочу чаю, добавить сахару и т. п.). Винительный падеж (хочу чай) также возможен, т. к. речь идет о конкретном объекте.

Слово безнадежный образовано приставочно-суффиксальным способом от слова надежда. Слово надежда является словарным, безударную гласную в этом слове проверить нельзя.

Личные уменьшительные имена не используются для проверки безударных гласных корня в полном варианте имени, так как не имеют прямых семантических связей с проверяемым словом. Кроме того, они могут иметь иное графическое оформление (ср.: Тамара — Тома, Алексей — Лёша и т. п.).

Сочетание в дар существует и обычно употребляется с глаголами передать / принести / преподнести / послать / прислать / принять. Обратимся к примерам: «Алексей Александрович оставил в дар вашему музею картину» [Анна Ткачева. Приворот (1996)]; «Это были руки музыканта, которому достался в дар самый удивительный из инструментов — человеческое тело» [Евгений Водолазкин. Лавр (2012)]. Выражение отдать в дар нечасто, но тоже встречается.

Мужская фамилия Скидан склоняется, женская – нет. Правила просты: все мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный, в русском языке склоняются (единственное исключение – фамилии на -ых, -их типа Черных, Долгих), это не зависит ни от происхождения фамилии, ни от места ударения в ней. Если не просклонять мужскую фамилию (например, написать: выдан Алексею Скидан), это будет грамматической ошибкой. Такие правила были всегда, просто сейчас за их выполнением стали тщательнее следить.

Существует и употребляется, например: Спустя время Алексей выпрямился на козлах, прислушался, указал в темноту кнутовищем... (А. Н. Толстой, Хождение по мукам);  Спустя время раскрасневшаяся Мавра, с платком, съехавшим набок, торочила на проулке бабьей толпе... (М. Шолохов, Тихий Дон); ...Так что мы в этой деревне даже останавливаться не будем, а сразу пойдем дальше и спустя время дойдем до чудаковой деревни... (А. и Б. Стругацкие, Улитка на склоне).

Слово авторша не является стилистически нейтральным. Оно может быть использовано в неформальной речи или в художественной литературе для придания комического или иронического эффекта: К нему призывали ее сантиментальные авторши-англичанки со страниц воспитательных романов на розовой водице [Вас. И. Немирович-Данченко. Цари биржи (Каиново племя в наши дни) (1886)]; Толстая авторша во время чтения рыдала и пила валерьянку — а мы все, не дожидаясь конца чтения, просили сделать перерыв в надежде, что в перерыве угостят пирогом [Алексей Щеглов. Фаина Раневская: вся жизнь (2003)]. 

Вы не ошибаетесь. Во-первых, налицо ошибки в правописании: авторские слова внутри прямой речи должны быть написаны со строчной буквы, а перед первым тире должна стоять не точка, а запятая. Однако, по нашему мнению, первое предложение вообще не следует оформлять как прямую речь. В кавычки лучше заключать только вторую часть высказывания. Возможный вариант: Умение хорошо двигаться, быстро переходить с одной позиции на другую – такие особенности своего подопечного отмечает Алексей. «Если ноги у боксера не работают, он превращается в грушу», – поясняет тренер.

Сочетание в моменте отнюдь не новое. Обратимся к цитатам: ...ее [политики] специальное назначение в том, чтобы обслуживать справедливое в моменте и на момент (как бы длителен порою момент ни был) [Ю. В. Ключников. На великом историческом перепутье (1922)]; Борис Фохт как попутчик — в одном; а Флоренский — попутчик в другом; так казалось мне; но пути их, скрещаясь с моим лишь в моменте, — уже расходились... [Андрей Белый. Начало века (1930)]; Я не играю в догонялки, я не мечтаю о себе придуманном, я живу в моменте [Алексей Слаповский. Большая Книга Перемен // «Волга», 2010].