Правильно: триста лагерей.

Столица Урала, янтарная столица — это образные описательные выражения. Они не стали неофициальными названиями, не фиксируются в таком качестве словарями, в текстах устойчиво пишутся со строчной буквы.

Возможно, осмыслению сочетания столица Урала как названия препятствует структура — «столица чего» (ср. столица России, столица Белоруссии, столица Кузбасса, столица Калининградской области). Слово столица воспринимается исключительно как родовое.

Сочетания прилагательного со словом столица похожи на типичные географические названия с родовым словом (Московская область, Белое море, Приморский край, Васильевский остров), что располагает к их использованию как названий. Сочетание Северная столица давно закрепилось в таком качестве и отмечено словарями, Уральская столица употребляется реже, но вполне корректно, например в названии статьи «В Уральской столице презентовали новую книгу об императоре Николае II» [Vesti.ru, 20.07.2016].

Сочетание янтарная столица, по данным Национального корпуса русского языка, менее употребительно, чем столица Урала или уральская (Уральская) столица, и обычно вводится в текст не как название, а как характеризующий оборот, например:

Это правда, что вы хотите переселить в Россию 15 тыс. специалистов-янтарщиков из Польши и Литвы и таким образом в перспективе сделать Калининград янтарной столицей мира? [Елизавета Маетная. «Янтарный комбинат превратился в бизнес: «выкопай и продай посреднику» // Известия, 29.05.2012];

Я был в Доминиканской республике трижды, и сам искал эти камни и находил, и конечно это удовольствие подарить такой камень, так как Калининград — это янтарная столица мира, и естественно, здесь должен быть такой камень тоже [Музей янтаря получил подарок с острова Гаити // Vesti.ru, 03.03.2009].

Интересно, что сочетание Янтарный край вполне может претендовать на фиксацию в качестве неофициального названия: оно стало устойчивым обозначением Калининградской области в современных текстах.

Думаем, этот вопрос нужно задать авторам сериала. Возможно, они не знали, что слово офлайн давно получило фиксацию в нормативных словарях русского языка.

Слово много является числительным и, как и другие числительные, в им. падеже требует от управляемого существительного формы род. падежа, ср.: пять/триста/много ошибок.

Правильно: нет двухсот пятидесяти шести рублей. Склоняются обе части от двести: нет двухсот. Это показано на примере склонения триста, пятьсот в «Письмовике».

Это предложение неполное, в нем восстанавливается определяемое слово, стоящее перед определениями, а в таких случаях определения, как правило, однородны. Сравним: Пришла Масленица, русская, старинная, румяная да блинная.

Сочетания типа врач пришла давно считаются вполне приемлемыми даже в письменной речи. Поэтому возражений против второго варианта нет. Он более вразумителен с точки зрения обозначения пола врача.