В словарях вариант молиться о чем-либо (например: молиться о здравии) указан как нормативный. Поэтому, если мать молилась, чтобы сын остался жив, предлог о использован верно.
Запятая не требуется: о себе да о себе.
Запятая ставится.
Правильное управление: понимать что (полный охват предмета действием, например: я понимаю живопись) и понимать в чём (частичный охват предмета действием, например: я понимаю кое-что в живописи). Понимать о чём – неправильно. В приведенном Вами примере слова о том лишние. Правильно: понимать, что он говорит.
Правильно: в отчет попадут (=в отчете появятся).
Правильно: от и. о. директора. С большой буквы пишутся только названия высших государственных должностей.
Правильно: о континууме, определяющемся...
Запятая перед как не ставится, если оборот с этим союзом входит в состав сказуемого или тесно связан с ним по смыслу.
Корректно: города Казани, о городе Чистополе.
В заголовках такого типа тире обычно ставится.
