Название Минпросвещения России не склоняется. При этом склоняются наименования с усеченной конечной частью: Минтруд, Минспорт, Минздрав... (но: Минобрнауки, Минобороны - не скл.!)
Никакие знаки препинания в этом фрагменте не нужны.
Оба варианта правильны. При этом в некоторых словарях они указаны как равноправные, в некоторых – предпочтение отдается ударению полосу (при указании на допустимость варианта полосу).
Правильно: организациям, (каким?) относящимся. Ср.: организаций, (каких?) относящихся.
Восвояси – предположительно, сращение в одно слово словосочетания во своя вьси «в свои деревни, домой» или оборота во своя си «к себе». Восходит к древнерусскому языку.
В этом предложении не нужны дополнительные знаки препинания.
Запятая не нужна.
Да, нужно, поскольку это не общеупотребительное выражение, а армейский жаргон.
Да, оба варианта корректны.
