Да, уместно именно дефисное написание: френдли-фаер.   

Ваше предположение более чем разумно. Однако в нормативном орфографическом словаре зафиксировано и существительное мэн, -а (мужчина, сниж.). Так что по отношению к словам типа м(е/э)нспрединг приходится признать, что пока возможны оба варианта написания, хотя написание через е уверенно лидирует. 

Написание сложных существительных с не употребляющейся самостоятельно первой частью на согласную определяется по орфографическому словарю. Слово, о котором Вы спрашиваете, нормативными словарями русского языка пока не зафиксировано. Однако предпочтительным можно считать дефисное написание: лодж-отель (ср.: апарт-отель, парк-отель — эти слова уже чуть лучше освоены русским языком и получили словарную фиксацию).

Верно дефисное написание: фуд-холл.

Написание первой части кеш- через е связано с общей закономерностью русского письма: не в начале корня после согласных буква э пишется для передачи гласного э и одновременно для указания на твердость предшествующего согласного только в немногих нарицательных словах иноязычного происхождения. Раньше их было совсем мало (мэр, пэр, сэр), в последние годы список исключений расширился (ср.: сэндвич, фэнтези, фэншуй и др.), но все-таки в большинстве случаев такие слова пишутся с буквой е, особенно когда есть родственное слово с устойчивым е (кеширование). 

Для части -бэк действует своя, отдельная закономерность. Английское back может передаваться в русском с буквой е, как, например, в слове хавбек (старое заимствование), однако большинство слов с данной частью (особенно недавно заимствованных) пишутся с э, например: бэк-вокал, бэкграунд, бэк-офис, флешбэк, хетчбэк и др.

Первая часть сложных слов бизнес-... присоединяется дефисом: бизнес-зал.

Теоретически можно, но зачем? Если говорить о передаче произношения, написание через е ничуть не более логично, чем написание через и: звук, который произносится здесь в первом слоге, в разных словах русского языка может передаваться как буквой е, так и буквой и — это равноправные графические возможности. Но написание буквы и в существительном ритуал обусловлено историей слова: оно пришло из французского или немецкого языка и восходит к латыни: фр. rituel, нем. Ritual от лат. rītuālis «обрядовый». Написание же в этом слове буквы е не будет мотивировано ничем.

Слитное написание слова кешбэк определяется тем, что в нем нельзя выделить ни одной части, которая существовала бы в изолированном (самостоятельном) употреблении.  

Слитное/раздельное написание выражений такого рода зависит от их грамматического статуса: наречия пишутся слитно, а существительные с предлогом — раздельно. При этом грамматический статус должен быть прояснен контекстом, должен соответствовать, в частности, нормативному управлению глагола и т. п. Ср.: глядеть (куда?) вдаль — всматриваться (во что?) в даль; перевернуть (как?) набок — положить (на что?) на бок тарелки. 

Орфографическим правилам соответствует написание Военмех. Однако нужно учитывать, что в официальных документах и на сайте  БГТУ им. Д. Ф. Устинова используется вариант ВОЕНМЕХ.