В форме третьего лица глагола мягкий знак не пишется, правильно: приходится.
Мягкий знак не нужен: Танюш.
Мягкий знак не пишется. Правильно: Саш, Маш.
Слово секьюрпак следует писать с мягким знаком по аналогии со словами секьюрити, секьюритизация. Отметим, что в известных нам словарях русского языка это слово пока что не зафиксировано.
Мягкий знак не пишется: Привет, Катюш
Мягкий знак нужен. Правильно: о кошачьем любопытстве.
Для этого слова нет общепринятого графического сокращения. В любом случае мягкий знак в сокращении избыточен.
В словах Дарьюшка и Софьюшка мягкий знак выполняет разделительную функцию, то есть обеспечивает произношение на месте буквы Ю двух звуков речи - Й и У. В слове Илюша на месте буквы Ю произносится только один звук.
Да, мягкий знак нужен. Написание знакомтесь ошибочно.
Мягкий знак поставлен правильно.