Литературная норма: молодой хирург Иванова. См. в «Письмовнике»: Автор Петрова, или Названия «неженских» профессий.
Нет, такого орфографического правила не существует (и не существовало). О буквосочетаниях -оро- / -оло- (также -ере-, -ело-) говорят применительно к истории языка: подобные сочетания – признак русских слов, в то время как сочетания -ра-, -ла-, -ре-, -ле- – признак старославянских слов, ср.: ворог – враг, город – град, золото – злато, голова – глава, болото – блато, берег – брег, шелом – шлем и т. п. (в лингвистике это наличие графической последовательности оро, оло, ере, ело в русских словах называется полногласием). В таких словах, действительно, пишется -оло-, -оро-, но это лишь закономерность, характерная для ограниченной группы слов и вызванная историческими процессами в языке.
Моветон – обычное склоняемое существительное. Но плохо: является моветоном. Обычно говорят, что нечто – моветон (в именительном падеже) или нечто считается моветоном. Правильно: Ходить с непокрытой головой – моветон и Ходить с непокрытой головой считается моветоном.
Такие сочетания широко распространены в языке средств массовой информации, но в них проявляется речевая неряшливость. Правильным было бы: фаворит в споре (в борьбе) за премию «Оскар».
Корректно: ребенок впервые сказал (слово) "мама".
Кавычки в данном случае факультативны.
