Устойчивое сочетание: чуть свет. Оно может употребляться с разными глаголами: встать чуть свет, пойти куда-то чуть свет, позвонить кому-то чуть свет и т. д.
Да, обычно эти слова обособляются (хотя иногда в художественной литературе встречаются и примеры их необособления).
Такие сочетания корректны.
В этом сочетании используется только частица не, правильно: чуть ли не...
Предпочтительно: не понял сути.
Верно: надела ему теплые носки.