Если речь идет о Конституционном суде РФ, то это название во всех случаях следует писать с прописной (заглавной) буквы.
Правильно: Федеральный конституционный суд Германии.
Корректно: трансляция из суда (из помещения), трансляция заседания суда (самого процесса).
Правильно: обжаловать в суде.
Правильно: Страшный суд. См.: Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2011.
Корректен второй вариант.