Оба варианта возможны.
Правильно: в этот час (в значении "в это время") и в течение этого часа.
См. «Словарь трудностей».
Склоняется первое слово: к утреннему часу пик.
Корректно: Длительность поездки приблизительно равна 1 часу.
Верно: на классном часе. Сочетание на таком-то часу употребляется в знач. «в такой-то момент какого-либо процесса», ср.: на третьем часу доклада слушатели начали засыпать.