Верно: ходатайство о чём-либо, поэтому: ходатайство об обучении.
Правильно: ходатайство.
Правильно: ходатай, ходатайство, ходатайствовать.
Эти словосочетания составлены некорректно.
Если эти слова выступают в роли заголовков соответствующих документов, то точку после них ставить не нужно.
Представление (официальная бумага, содержащая осведомление, ходатайство о чем-л.) о награждении, представление на кого-л. Отзыв может быть о работе или на работу.
Возможно в зависимости от контекста: передать Смирнову ходатайство, рассмотреть ходатайство (чье?) Смирнова.
1. ХодАтайство. 2. См. в «Письмовнике».