Корректны оба варинта: от дна и ото дна.
Корректно с прописной буквы: В регионе проходят Дни культуры, Дни поэзии, Дни архитектуры.
Сочетание на Дне может вызвать нежелательные ассоциации. Лучше написать: наградят в День района или на праздновании Дня района.
См. ответ на вопрос № 271571.
В значении "за день" - в течение дня.
Оба варианта возможны.