Правильно: Открытый кубок Москвы.
Верно: опОздала, пОздний (но опАздывать).
Правилен второй вариант.
Запятая нужна: Университет, открытый миру.
Возможны оба варианта.
Глаголы окончить и закончить употребляются синонимично в значении "завершить, довести до конца", поэтому возможны оба варианта: урок закончен/окончен.