См. ответ на вопрос № 240838.
Тбилиси – существительное мужского рода.
Склоняется. См. в «Письмовнике».
Словарной рекомендации нет, но, как правило, если обе части составного существительного склоняются, то род всего сложносоставного существительного определяется по роду первого слова: согласно прежнему плану-заданию, новый план-задание.