Оба варианта корректны.
Правильно: Как месяц ни свети, а всё не солнышко.
См. в окне «Искать на Грамоте» на глагол печь.
Правилен второй вариант. Быстро тающее представляет собой сочетание наречия с причастием, а не сложное прилагательное. Глагольные признаки формы тающее актуализируются благодаря относящемуся к ней обстоятельству на солнце.
Правильно: гетто, кофе (с мягкими согласными). Слова солнце и звездный - с непроизносимыми согласными.
Слово солнце может употребляться во множественном числе (но не имеет форм множественного числа астрономический термин Солнце, обозначающий центральное тело Солнечной системы). Приведенное Вами предложение корректно.
Ясным может быть и солнце, и небо: это разные значения прилагательного. См. словарную фиксацию.
Вне "астрономического" контекста верно написание со строчной буквы: на восходе солнца, сожженного солнцем.
Запятая не ставится, т. к. союз и соединяет два однородных придаточных предложения. Между ними пунктуация такая же, как при однородных членах.
