Правильно с прописной, кроме последнего примера.

И. п. Жан; Р. п. и В. п. Жана; Д. п. Жану; Т. п. Жаном; П. п. (о) Жане.

СО РАН (отделение) обязано.

Склоняется следующим образом: Жан-Клод Ван Дамм, Жан-Клода Ван Дамма и т. д.

Возможны оба варианты. Раздельное написание подчеркивает отрицание, слитное — утверждает неясность.

Служебный элемент ван обычно пишется со строчной буквы, написание Людвиг ван Бетховен соответствует правилу. Однако в некоторых личных именах компонент ван может быть написан с прописной буквы (такое орфографическое оформление часто соответствует написанию с прописной в языке-источнике и проверяется в словарном порядке): Ван Гог, Ван Дамм.

Нормативными словарями современного русского языка это наименование еще не зафиксировано, поэтому возможны оба варианта его написания: халуми и халлуми. Однако, как показывает анализ  статистики употребления этих форм и тенденций в развитии орфографии, предпочтительна форма с одной л: халуми. 

См. ответ № 239351.

Верно: с шестидесятитысячным войском.