В этом значении верно: прилагает руку.
Если в тексте нет противопоставления, предпочтительно слитное написание неведущая рука.
Нет, это не вводные конструкции, а самостоятельные предложения.
Слева - ошуюю и ошую.
Правилен первый вариант.
Трудно дать однозначный ответ, не зная контекста. Если это прозвище доктора, которое функционирует как имя (в том числе, например, имя персонажа художественного произведения), правильно писать оба слова с прописных, например: «Вот и всё», — сказал Умелые Руки, закончив перевязку. Если же речь о том, что доктор умелец, корректно строчными, например: Василий у нас доктор «умелые руки», советую к нему обратиться. Ср. также: доктор у нас умелые руки.
Как мы можем судить по найденным в Сети контекстам, психологами используются термины: ведущая рука, неведущая рука.