Это существительное женского рода. Правильное написание: альма-матер.
Существительное женского рода от завсегдатай не образуется, но это слово вполне может быть использовано по отношению к лицу женского пола, например: Маша – завсегдатай ночных клубов.
Мужская фамилия Рак склоняется как соотносительное нарицательное существительное.
Мужская фамилия склоняется.
Да, склоняется.
В разговорной речи - библиотекарша. Стилистически нейтрального варианта нет.
Фамилия Штых, принадлежащая мужчине, склоняется: Ивана Штыха.
Фамилия склоняется.