Правильно: проведение дней рождения.
Верен второй вариант.
Правильно: день рождения.
Запятые нужны.
В справочнике Д. Э. Розенталя сказано следующее. Обычно обособляются несогласованные определения, дополняющие или уточняющие представление о лице либо предмете, который сам по себе (без определения) достаточно конкретен, уже известен. В этой роли выступают имена собственные (они выделяют лицо-предмет из ряда подобных), названия лиц по степени родства.
Правильно: приглашает на день рождения (на празднование дня рождения).
Оба варианта возможны, но наиболее употребителен выстрелил в спину ребенку.
Слово рождения не изменяется при изменении слова день. Правильно: дни рождения, информация о днях рождения.
Да, дефис при приложении нужен: сын-генерал, отец сына-генерала.
