Да, мужская фамилия Король склоняется. Правильно: Королю Евгению.
Склоняется фамилия Рейх, принадлежащая мужчине. Женская фамилия не изменяется по падежам.
Грамматически верны оба варианта, но предпочтительно склонение без выпадения гласного: Дёготю.
Имя следует склонять, верен первый вариант.
Правильно.