Правильно: Республика Татарстан.
Предпочтительно: расположено три объекта. Однако и второй вариант не будет ошибкой.
Корректно согласование во мн. ч.
Вы написали верно.
Лучше: проживает.
Здесь приложение относится к одному слову, а не сочетанию, поэтому следует писать через дефис: пять учителей-предметников региона.
Следует писать слитно.
Правильно слитное написание (и согласно правилам, и согласно последнему изданию «Русского орфографического словаря»).