Слово обязание в литературной речи не употребляется, хотя иногда применяется в юридических документах. Если Вы все-таки решили использовать это слово, то выбирайте первый вариант управления.
По правилам названия отделов и частей учреждений и организаций пишутся со строчной буквы. См. § 193 в «Правилах русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.
Оба варианта возможны, выбрать более удачный вариант следует исходя из контекста.
Правильно: состав правления (правление «руководящий орган»).
Верно: стабильность управления кораблем.
Вы правы, верен второй вариант: панель управления включением станка.
Верно: правила управления.
Если имеется в виду несколько документов, каждый из которых называется договор управления многоквартирным домом, то правильно: договоры управления многоквартирным домом.
Правильно: управления образования. С большой буквы пишется первое слово наименования – имени собственного. Собственные имена выделяют предмет из ряда однородных. А множественное число как раз указывает на ряд однородных предметов, т. е. управление здесь – нарицательное существительное.
Орфографический словарь «Прописная или строчная?» В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой, Л. К. Чельцовой (М., 2011) рекомендует в сочетании правление ЖСК первое слово писать со строчной буквы.
