Форма мужского рода (управляющий) по отношению к женщине используется в тех случаях, когда в контексте на первое место выдвигается сообщение о должности безотносительно к полу лица (обычно в строгой официально-деловой речи). В обиходной письменной и тем более устной речи следует использовать форму женского рода. Обратите внимание, что правильное сочетание: управляющий (управляющая) фирмой.
В данном случае предложение лучше перестроить и использовать название должности женского рода: По прибытии управляющая распорядилась...
Это разные конструкции и разные значения предлога. Предлог по употребляется с предложным падежом при указании действия, события, после которого что-либо совершается: по завершении, по прибытии, по отъезде, по прилете. При обозначении пространства, места, на поверхности которого происходит какое-либо движение, предлог по употребляется с дательным падежом: по улице, по реке, по горе, по мосту, по проспекту.
Верно: по прибытии на скалодром.
После прибытия - по прибытиИ.
В значении "после" верно: по прибытии, по истечении срока.
Правильно: с данными о прибытии.
Правильно: в первый день по прибытии.
В этом случае по приезду правильно.
Правильно: по возвращении, по прибытии. Предлог по в значении 'после чего-либо' употребляется с предложным падежом.
В значении "после чего-либо": по приезде, по прибытии.
