Есть закономерность. Так называемый партицив (родительный падеж в конструкциях, приведенных Вами) используется для указания "части целого": можно воды (часть, немного, стакан...), рыбы (не всю), икры (сколько-то). Если целое на части не делится, то используется только винительный падеж в конструкции со словом можно.
Грамматически верно: сколько солнц?
Страдательное причастие прошедшего времени образуется только от глаголов совершенного вида, в данном случае бросить.
Причастие брошенный образовано от глагола совершенного вида бросить. От глагола несовершенного вида бросать теоретически возможно не употребимое в речи причастие *бросаный; сравним приставочные образования совершенного вида: набросать — набросанный (например: набросанные в корзину шишки).
Вас интересует "лингвистическая" корректность такого вопроса? С лингвистической точки зрения таков вопрос возможен.
В бытовой речи, пожалуй, такой оборот возможен, однако в любых других (назовем их официальными) случаях мысль о том, что стоит ограничиться необходимой и достаточной информацией, не содержащей избыточных сведений, следует выразить иначе.
Запятые лучше поставить. Подробнее см. в "Справочнике по пунктуации".
Это союз но и предлог несмотря на. Верно: Но, несмотря на все уговоры, Катя решила бросить университет.
Пунктуация верна, другие запятые не нужны.
