Да, мужская фамилия склоняется.
См. рекомендации в Письмовнике.
Склоняется и мужская, и женская фамилия.
Если это фамилия славянского происхождения, то ее женский вариант — Куцына (ср. Куницын — Куницына). Однако возможен и случай, когда подобных фамилиях невозможно выделить суффикс -ын, и тогда они не изменяются: Иван Куцын и Марья Куцын.
Да, аналогичным образом.
В первом предложении то же надо писать раздельно. См. «Учебник Грамоты».
В данном предложении тоже - наречие.