Поскольку в предложении есть слово в кавычках внутри сочетания, заключенного в кавычки, рекомендуется использовать кавычки разного рисунка (см. об этом «Письмовник»): Учащиеся образцового коллектива «Студия турецкого танца "Данс"» под руководством Анны Ивановны Ивановой стали лауреатами конкурса-фестиваля «Капель».

Это регламентировано орфографическими правилами: "Названия должностей, званий, титулов пишутся со строчной буквы, напр.: президент, канцлер, председатель, министр, премьер-министр, заместитель министра, мэр, император, королева, хан, шейх, генеральный секретарь, заслуженный деятель культуры, лауреат Нобелевской премии, посол, атташе, директор, генеральный директор, академик, доктор наук, профессор, член-корреспондент, генерал-майор, командующий войсками, руководитель департамента, заведующий отделом, управляющий делами.

В официальных текстах названия высших государственных должностей и титулов пишутся с прописной буквы, напр.: Президент Российской Федерации, Председатель Правительства РФ, Председатель Государственной думы, Премьер-министр Индии, Её Величество Королева Англии (см. также § 202). Однако в неофициальных текстах эти названия пишутся со строчной буквы, напр.: выборы президента, выступление председателя Госдумы, распоряжение премьер-министра, приём у королевы" (§ 196).

Фамилия Кобзарь склоняется, если принадлежит мужчине. Подоробнее см. в разделе "Письмовник" на нашем портале. 

 Подробный ответ на этот вопрос Вы можете найти в разделе "Письмовник". 

Да, окончания сказуемых написаны правильно, поскольку в предложениях сказуемые предшествуют подлежащим и делается акцент на количестве. Подробно о выборе между единственным и множественным числом сказуемого см. наш «Письмовник».

В целом корректны оба варианта, см. «Письмовник». Множественное число сказуемого предпочтительно, если подлежащее и сказуемое находятся на расстоянии друг от друга (Ряд исследователей, работавших над этой темой, полагают, что...) и в некоторых других случаях.

Существительное, относящееся к переходному глаголу с отрицанием, может иметь форму родительного или винительного падежа: прошел аттестацию, но не прошел аттестации / не прошел аттестацию. О принципах выбора между падежными формами см. наш Письмовник, а также соответствующий раздел «Справочника по правописанию, произношению, литературному редактированию», где, в частности, говорится, что «при деепричастии или причастии, в связи с книжным характером этих форм», обычно употребляется родительный падеж существительного.

Корректно: Светлана — прекрасный медик. Пациенты верят в высокий профессионализм своего фельдшера и идут к ней со своими проблемами.

Корректное оформление: трехкратный (предпочтительно), 3-кратный. См. наш «Письмовник».

В правилах русского языка регламентированы случаи написания местоимений Вы, Ваш с прописной буквы. См. параграф 202 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.) и «Письмовник».