Правильно: память об Анатолии.
Если имеется в виду "храню в качестве памяти", то запятая не нужна: храню как память.
Оба сочетания не слишком хороши.
Кавычки не нужны.
Верно: памяти оставшихся в горах.
Прилдаточные являются однородными. Корректная пунктуация: Автор считает, что память дает людям возможность перенимать опыт прошлых поколений, а также что «без памяти нет совести».
Верно: двигательная память.