Правильно: факс отправлен ИП Лагоде П. И.
Да, вторая часть названия склоняется. Правильно: достопримечательности Папуа – Новой Гвинеи.
Сочетания теплая погода, холодная погода корректны, зафиксированы словарями русского языка.
В бытовом употреблении можно писать без кавычек и со строчной: гауда.
Правильно: не убранная со стола посуда.
Да, имеет.
В одном из значений: "пространство между грудью и прилегающей к ней одеждой". Пазуха пальто - некорректное сочетание.