Правильно: факс отправлен ИП Лагоде П. И.
Предпочтителен второй вариант.
Да, вторая часть названия склоняется. Правильно: достопримечательности Папуа – Новой Гвинеи.
В бытовом употреблении можно писать без кавычек и со строчной: гауда.
Да, имеет.
Не просто дождь и плюсовая температура, а погода, и впрямь настраивающая флору на пробуждение.
Правильно: не убранная со стола посуда.
В одном из значений: "пространство между грудью и прилегающей к ней одеждой". Пазуха пальто - некорректное сочетание.