Правильно: действием.
При сочетании глагола просить с отвлеченным существительным требуется родительный падеж: прошу разрешения.
Корректно: человек должен нести ответственность за свои действия или бездействие.
Предпочтительно: Рассматривалось несколько вариантов действий.
Сочетание не ошибочно.
Действия можно предпринять.
Оба сочетания возможны, выбор предлога зависит от контекста. Ср.: за весь срок действия заграничного паспорта так ни разу и не выехал из России и эти условия распространяются на весь срок действия договора.