Название в кавычках при родовом слове не склоняется: ученица школы «Интеграция».
Верно: работает в ГБОУ Школа.
Написание в кавычках корректно.
Лучше: награждается грамотой МАОУ "Зареченская школа".
Корректно: школа № 1.
Существительное, указывающее на специализацию школы, ставится в родительном падеже: школа танцев, школа высшего спортивного мастерства, школа импровизации, школа вождения.
Лучше сказать: быть попечителем школы.
У глагола окончить сформировалось значение 'пройти какой-либо курс обучения, завершить обучение где-либо', так что сочетания окончить школу/институт/колледж и под. правильны.
В заголовке или начале предложения первое слово следует писать с большой буквы. Верно: Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение "Средняя общеобразовательная школа № 45".
Если это зарегистрированное название, то ничего поменять не удастся. Если нет, то верно: школа танца джаз-модерн или школа джаз-модерна.
