Форма родительного падежа: кости.
Правильно: остров Татышев.
Правильно: Остров свободы.
Правильно: остров Татышев (от имени Татыш).
Правильно: остров Татышев.
Правильно: перелом лучевой ко́сти.
Да оба слова пишутся с большой буквы: Лосиный Остров.
Возможны оба варианта, чаще употребляется первый.
Нейтрально (не в энциклопедии): Крысий остров.