У несклоняемых иноязычных существительных, оканчивающихся на гласный и обозначающих неодушевленные предметы, часто возникают колебания в родовой принадлежности, т. к. внешний облик слова втягивает их в парадигму среднего рода, а русский синоним или устаревшая форма слова могут подсказывать иное согласование (именно поэтому мы столько спорим о роде слова кофе). Но в данном случае влияние родового слова салат пока сильнее, поэтому в словарях русского языка оливье мужского рода: вкусный оливье.
Литературная норма: помидоров, баклажанов. В разговорной речи допустим вариант баклажан.
Может быть, из языков с огурцом?
Можно. Но лучше: Какое масло ты используешь для салата, добавляешь в салат и т. д.
Корректно через дефис: микс-салат и хот-салат.
Возможны оба варианта.
Имя прилагательное в составном сказуемом независимо от типа связки употребляется как в форме именительного, так и в форме творительного падежа.
Правильно: базиликовый (от базилик).
Во всех приведенных Вами словах безударные гласные в корне непроверяемые.
