Верны оба варианта.

Корректно: общественно активный (раздельно). Ср.: общественно значимый, общественно опасный, общественно полезный.

Раздельное написание используется всегда, когда реализуется значение "для общества, в обществе". Если же реализуется значение "общественный и еще какой-то", то слово пишется через дефис: общественно-культурный, общественно-исторический, общественно-политический. Заметим, что в таком случае (при дефисном написании) компоненты слова можно поменять местами (культурно-общественный, историко-общественный) или соединить союзом И (общественный и культурный, общественный и исторический).

Вы написали правильно.

Следует писать раздельно: общественно активный.

Нужен родительный падеж. См.: http://gramota.ru/spravka/letters/?rub=otr

Правильно раздельное написание: общественно значимый.

Следует писать раздельно: общественно значимая деятельность.

См. "Словарь трудностей".