Да кавычки нужны, при этом предпочтительно использовать кавычки разного рисунка: ООО «Риелторское агентство "Новый квартал"».
Новый свод правил русской орфографии пока не вышел. Официальный свод правил — "Правила русской орфографии и пунктуации", изданный в 1956 году, остаётся основным источником. Тем не менее на протяжении последних лет ведётся работа над обновлением и дополнением этих правил, но официального их утверждения пока не произошло.
Правильно: старый Новый год.
Верно: китайский Новый год.
Если это предложение целиком, то запятая не требуется: Развод как Новый год.
В повелительном наклонении правильной формой будет "встретьте Новый год".