Такое правило есть: отрицание не пишется раздельно с неизменяемыми словами, употребляющимися в роли сказуемого (то есть словами категории состояния). Верно: мне не больно.
См. ответ на вопрос № 251061.
Зависит от строя предложения. Если эти слова выступают в качестве обстоятельств образа действия, то это наречия. Если эти слова входят в состав сказуемых, то это прилагательные.
Наречие — одна из основных частей речи. При анализе этой части речи лингвисты отграничили группу слов, употребляющихся в качестве главного члена в безличных предложениях (на улице тепло, здесь многолюдно, мне весело). Ряд исследователей, в том числе авторы учебников, рассматривают эту группу в составе самостоятельной части речи — категории состояния. Поскольку синтаксическая функция представляет собой основной отличительный признак слов категории состояния, то для их обозначения лингвисты используют и другие термины — безлично-предикативные слова, предикативы.
См. в учебнике С. Г. Бархударова «Правила русской орфографии и пунктуации».
Оба варианта корректны.
Предпочтительна форма ед. числа, т. к. подлежащее обозначает неодушевленный предмет.
Если речь идет о двух категориях, верен первый вариант.
