С точки зрения авторов толковых словарей варианты равноправны. Однако в справочнике Д. Э. Розенталя «Управление в русском языке» приведена такая рекомендация: с помощью – обычно при указании орудия, средства совершения действия, при помощи – при указании лица.

Корректно: критерии (чего?) истины, оценки.

Верно: конкурс чего-либо (конкурс поделок); конкурс по изготовлению чего-либо.

Правильно: процент чего (при выражении зависимого слова собирательным существительным или существительным, не имеющим количественного значения: двадцать процентов населения) и процент от чего (при зависимом слове – количественном числительном: пять процентов от шестидесяти). Если в качестве зависимого слова выступает существительное, связанное с понятием количества, то употребление предлога факультативно: три процента этой суммы / три процента от этой суммы; один процент заработной платы / один процент от заработной платы.

Корректно: какой город достоин звания...

Корректно: присвоено звание капитана, присвоено очередное звание - капитан.

Возможны оба варианта.

Разработать дизайн можно.